1、函数的定义 函数的传统定义:设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

2、我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

3、函数的近代定义:设A，B都是非空的数的集合，f:x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。

(相关资料图)

4、符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为:x是自变量，它是法则所施加的对象;f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述;y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。

5、y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。

6、对函数概念的理解函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

7、这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。

8、由函数的近代定义可知，函数概念含有三个要素:定义域A、值域C和对应法则f。

9、其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

10、y=f(x)的意义是:y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，所以是函数的核心。

11、至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，这是无关紧要的。

12、函数的定义域(即原象集合)是自变量x的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分。

13、当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后，函数的值域也就随之确定了。

14、因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可。

15、只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说:1)定义域不同，两个函数也就不同;2)对应法则不同，两个函数也是不同的;3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。

16、例如:函数y=x+1与y=2x+1，其定义域都是x∈R，值域都为y∈R。

17、也就是说，这两个函数的定义域和值域相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数。

18、定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素。

19、由于值域可由定义域和对应法则唯一确定。

20、两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数。

21、例如:在①y=x与 ，② 与 ，③y=x+1与 ，④y=x0与y=1，⑤y=|x|与 这五组函数中，只有⑤表示同一函数。

22、f(x)与f(a)的区别与联系f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量。

23、而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。

24、如一次函数f(x)=3x+4，当x=8时，f(8)=3×8+4=28是一常数。

25、当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则。

26、比如f(x)=x2+1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，这时此式是以x为自变量的函数的解析式;而对于f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示对x+1施加法则，右端是关于x的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x+1的函数解析式。

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